[확률] 확률과 사건, 집합에 대한 기본 개념 정리

🕓2018.11.25 📈20

확률은 어떤 사건이 일어날 가능성의 정도를 의미합니다. 이 확률에 대한 기본적인 몇가지 성질을 정리해보도록 하겠습니다.

아래에서 P() 함수는 어떤 사건이 일어날 확률을 의미하며, A 혹은 B 와 같이 대문자 알파벳은 특정 사건을 의미합니다.

기본 용어

표본공간

표본공간이란 특정 실험에서 나타날 수 있는 모든 결과의 집합을 의미합니다. 주사위 던지기 실험에서 표본공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 입니다.

사건

실험에서 특정 조건을 만족하는 모든 결과로 이루어진 집합을 의미합니다. 주사위 던지기 실험에서 홀수가 나올 사건은 {1, 3, 5} 입니다.

표본공간이 실험의 모든 결과를 포함한다면 사건은 특정 조건을 만족하는 결과의 집합을 의미합니다.

확률

확률은 실험에서 특정 사건이 발생할 수 있는 가능성의 정도를 의미합니다. 주사위 던지기 실험에서 홀수가 나올 사건의 확률은 0.5입니다.

교집합과 합집합

교집합

$A \cap B$

교집합은 집합 A 와 B 가 공통적으로 가지고 있는 원소들의 집합입니다.

합집합

$A \cup B$

합집합은 집합 A 와 B 의 모든 원소를 하나의 집합으로 표현한 집합을 의미합니다.

공집합과 여집합, 부분집합

공집합

$A = \emptyset$

공집합은 표본공간의 어떤 원소도 포함하지 않는 집합을 의미합니다.

여집합

$A^{c}$

여집합은 특정 집합의 원소를 제외한 나머지를 모두 포함하는 집합입니다.

부분집합

$A \subseteq B$

부분집합은 특정 집합의 원소 전체 혹은 일부를 포함하는 집합입니다.

확률의 기본 성질

$0 \leq P(A) \leq 1$

어떤 사건이 발생할 확률은 0보다 크거나 같고 1보다 작거나 같습니다.

$P(\emptyset)=0$

특정 사건이 공집합일 경우 공집합의 확률은 0 입니다.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

A 와 B 합집합의 확률은 사건 A, B 각각 확률의 합에서 A와 B 교집합의 확률을 뺀 것과 같습니다.

$P(A^{c}) = 1 - P(A)$

특정 사건의 여집합의 확률은 1에서 해당 사건의 확률을 뺀 것과 같습니다.

$A \subseteq B \Rightarrow P(A) \leq P(B)$

A 가 B 의 부분집합이라면 사건 A 의 확률은 사건 B 의 확률보다 작거나 같습니다.

$A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

A와 B의 교집합이 공집합일 경우 A와 B 합집합의 확률은 A 와 B 각각 확률의 합과 같습니다.

사실 이정도는 정규교육 과정을 밟았으면 모두가 알고 있는 그런 내용이죠? 하지만 항상 기본기를 탄탄히 해야 하니 정리해 보았습니다. 관련된 추가 내용을 계속 포스팅 해보도록 하겠습니다.